Acasă » Curent alternativ » 02 - Numere complexe
- Numere complexe - introducere
- Vectori şi forme de undă în curent alternativ
- Adunarea simplă a vectorilor
- Adunarea complexă a vectorilor
- Notaţia polară şi rectangulară a numerelor complexe
- Aritmetica numerelor complexe
- Notaţia polară desemnează un număr complex ca fiind compus din lungimea şi direcţia vectorului faţă de punctul de plecare
- Notaţia rectangulară desemnează un număr complex ca fiind compus din dimensiunile orizontale şi verticale ale vectorului
- Transformarea din notaţia polară în cea rectangulară şi invers, se face relativ uşor
[block:adsense_managed=1]
Scop
Pentru a putea lucra cu aceste numere complexe fără a fi nevoiţi să desenăm tot timpul vectori, avem nevoie de o notaţie matematică standard. Există două forme pentru notaţia numerelor complexe: polară şi rectangulară.
Notaţia polară
Forma polară constă în exprimarea unui număr complex prin lungimea (cunoscută şi sub numele de dimensiune, valoare absolută sau modul) şi unghiul vectorului (desemnat de obicei prin simbolul ∠).
Alăturat avem două exemple de vectori împreună cu notaţia lor polară.
Orientarea standard pentru unghiurile vectorilor în curent alternativ defineşte unghiul de 00 (sau 3600) ca fiind în dreapta (axa orizontală), 90o sus, 180o stânga, 270o jos. Atenţie, vectorii a căror unghi este „în jos” pot fi reprezentaţi cu ajutorul notaţiei polare ca fiind vectori pozitivi cu un unghi de peste 180o, sau ca numere negative cu unghiuri sub 180o. De exemplu, putem spune că un vector cu unghiul ∠270o (direct în jos) are unghiul de -90o (notaţie echivalentă). Vectorul de mai sus (7,81 ∠230.19o) poate fi descris de asemenea prin 7,81 ∠-129.81o.
Notaţia rectangulară
Forma rectangulară constă în reprezentarea vectorului prin componentele sale orizontale şi verticale. În esenţă, vectorul unghiular este considerat a fi ipotenuza unui unghi drept şi descris cu ajutorul lungimilor laturilor opuse respectiv adiacente. În loc să descrie lungimea şi direcţia unui vector prin precizarea lungimii şi a unghiului, acesta este descris în termenii „cât de departe în stânga/dreapta” şi „cât de departe „sus/jos”.
Aceste două valori dimensionale (orizontală şi verticală) sunt simbolizate prin două valori numerice. Pentru a putea face distincţie între cele două dimensiuni, cea verticală este însoţită de notaţia „i” (în matematica pură) sau „j” (în domeniul electric). Aceste litere nu reprezintă o variabilă fizică (precum curentul instantaneu, simbolizat de asemenea prin „i”), ci sunt operatori matematici folosiţi pentru a face distincţia dintre componenta verticală şi cea orizontală a unui vector. Ca şi număr complex complet, valorile cele două componente sunt scrise ca şi sumă.
Componenta reală şi componenta imaginară
Componenta orizontală este denumită componentă reală deoarece aceasta este compatibilă cu numerele normale, scalare („reale”). Componenta verticală este denumită componenta imaginară, deoarece această dimensiune se află pe o altă direcţie şi nu are nicio legătură cu scara numerelor reale.
Axa reală şi axa imaginară
Cele două axe poartă denumirea de axa reală respectiv axa imaginară.
Diferenţa dintre cele două notaţii
Oricare dintre cele două forme poate fi folosită pentru numerele complexe. Principalul motiv pentru care există două sisteme de notaţie valide se datorează faptului că forma rectangulară este uşor de folosit pentru adunare şi scădere, iar forma polară pentru înmulţire şi împărţire.
Transformarea din formă polară în formă rectangulară
Conversia de la o formă la alta se poate realiza pe cale trigonometrică destul de uşor. Pentru a transforma forma polară în forma rectangulară, aflăm mai întâi componenta reală prin înmulţirea lungimii polare cu cosinusul unghiului, iar componenta imaginară prin înmulţirea lungimii polare cu sinusul unghiului. Acest lucru poate fi înţeles mult mai uşor dacă desenăm valorile ca şi laturi ale unui triunghi dreptunghic, ipotenuza acestuia reprezentând exact vectorul analizat (lungimea şi unghiul său faţă de orizontală reprezintă forma sa polară), latura orizontală fiind componenta reală, iar latura verticală reprezentând componenta imaginară:
Calculele de transformare arată astfel:
Transformarea din formă rectangulară în formă polară
Pentru a realiza conversia de la forma rectangulară la cea polară, găsim mai întâi lungimea polară folosind teorema lui Pitagora, fiindcă lungimea polară este ipotenuza unui triunghiu dreptunghic, iar componenta reală şi cea imaginară sunt reprezentate de latura adiacentă respectiv cea opusă. Găsim unghiul ca fiind raportul dintre arc-tangenta componentei imaginare şi componenta reală, astfel:
