02. Metoda ramurii de curent

Acasă » Curent continuu » 10 - Analiza reţelelor de c.c.

Definiţie

Folosind aceasta metodă, presupunem şi indicăm un sens al curenţilor prin circuit şi scriem apoi ecuaţiile ce descriu relaţiile dintre aceştia folosind legile lui Ohm şi Kirchhoff. În momentul în care avem câte o ecuaţie pentru fiecare curent necunoscut, putem rezolva sistemul de ecuaţii pentru determinarea tuturor curenţilor şi prin urmare a tuturor căderilor de tensiune din reţea.

Exemplu

Să folosim următorul circuit pentru ilustrarea metodei.

Alegerea nodului de referinţă

Primul pas este alegerea unui nod din circuit (loc de întâlnire a cel puţin trei ramuri) ca şi punct de referinţă pentru curenţii necunoscuţi.

Alegerea aleatoare a direcţiei curenţilor prin nodul de referinţă

Ghicim apoi direcţia curenţilor din acest nod, notând curenţii cu I₁, I₂ şi I₃. Nu este neapărat ca direcţiile acestea să fie cele corecte (reale), în acest moment acestea sunt pur speculative. Vom ştii dacă intuiţia noastră a fost greşită în momentul rezolvării ecuaţiilor matematice pentru curenţi; orice direcţie greşită va apărea în ecuaţii cu semnul minus.

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru curent

Legea lui Kirchhoff pentru curenţii (LKC) spune că suma algebrică a tuturor curenţilor ce intră şi ies dintr-un nod de reţea trebuie să fie egală cu zero, prin urmare putem introduce curenţii I₁, I₂ şi I₃ într-o singură ecuaţie. Vom nota toţi curenţii ce intră într-un nod cu semnul pozitiv şi toţi curenţii ce ies dintr-un nod cu semnul negativ (aceasta este doar o convenţie; inversând semnele, rezultatul final va fi exact acelaşi):

Notarea polarităţilor tuturor căderilor de tensiune din circuit

Pasul următor este notarea tuturor semnelor căderilor de tensiune în funcţie de sensul presupus al curenţilor. Ţineţi minte că partea din „amonte” a rezistorului va fi tot timpul negativă, iar partea din „aval” tot timpul pozitivă întrucât electronii posedă o sarcină negativă.

Desigur, polaritatea bateriilor rămâne aceeaşi. Nu este nicio problemă dacă polaritatea rezistorului nu se „asortează” cu cea a bateriei atât timp cât polaritatea rezistorului este bazată pe direcţia presupusă de curgere a curentului prin acesta. Toate calculele efectuate de acum încolo se vor baza pe direcţia presupusă a curenţilor prin nodul ales.

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune

Legea lui Kirchhoff pentru tensiune (LKU) spune că suma algebrică a tuturor căderilor de tensiune dintr-o buclă de reţea trebuie să fie egală cu zero. Pentru a obţine ecuaţiile folosind LKU, trebuie să introducem valorile căderilor de tensiune ca şi cum le-am fi măsurat cu un voltmetru real.

Parcurgerea buclei din stânga

Putem începe parcurgerea buclei din orice punct dorim; în cazul de faţa începem de la bornele bateriei şi continuăm în sens invers acelor de ceasornic până ajungem în punctul de unde am plecat:

După ce am parcurs întreaga buclă din stânga, adunăm toate aceste valori ale tensiunii pentru a forma o ecuaţie:

Evident, nu cunoaştem încă valoarea căderilor de tensiune la bornele rezistorilor R₁ şi R₂ aşa că nu putem introduce valorile lor reale în ecuaţie în acest moment. Totuşi, ştim faptul că suma tuturor acestor căderi de tensiune trebuie să fie egală cu zero, prin urmare ecuaţia este adevărată şi o putem folosi mai departe în analiza noastră. Putem dezvolta ecuaţia înlocuind tensiunile necunoscute cu produsul dintre curenţii necunoscuţi, I₁ şi I₂, şi valoarea rezistorilor prin care aceştia trec, folosind legea lui Ohm (E = IR). Eliminăm de asemenea şi valoarea 0 din sumă:

Din moment ce cunoaştem valorile tuturor rezistorilor în ohmi, putem înlocui aceste valori în ecuaţie pentru a ne uşura calculele:

Motivul pentru care am redus ecuaţia în acest fel (până la urmă, avem tot două necunoscute) este folosirea aceloraşi variabile necunoscute ce le-am folosit şi în ecuaţia LKC de mai sus>. Acest pas este necesar pentru aflarea soluţiei sistemului final de ecuaţii.

Parcurgerea buclei din dreapta

Aplicând aceeaşi paşi şi pentru bucla din dreapta, obţinem o altă ecuaţie.

Cunoscând faptul că tensiunea de pe fiecare rezistor poate fi exprimată ca şi produsul dintre curent şi rezistenţa fiecărui rezistor, putem rescrie ecuaţia de mai sus astfel:

Formarea şi rezolvarea sistemului de ecuaţii

În acest moment avem un sistem matematic format din trei ecuaţii (o ecuaţie LKC şi două ecuaţii LKT) şi trei necunoscute:

Putem rescrie ecuaţiile de mai sus trecând în dreapta valorile cunoscute (constantele ecuaţiilor) şi lăsând în partea stângă valorile necunoscute (I₁, I₂ şi I₃), trecând explicit toţi coeficienţii pentru claritate. Putem observa că toate cele trei variabile sunt prezente în toate cele trei ecuaţii:

Rezolvând ecuaţiile de mai sus, ajungem la soluţia ecuaţiilor, reprezentată prin cele trei valori ale curenţilor:

Revenirea la circuitul iniţial

Prin urmare, valoarea curentului I₁ este de 5 A, I₂ de 4 A iar I₃ de -1 A. Dar ce înseamnă curent „negativ”? În acest caz, înseamnă că intuiţia noastră cu privire la direcţia curentului I₃ a fost greşită. Revenind la circuitul iniţial, putem reface schema acestuia schimbând direcţia curentului I₃ şi schimbând în acelaşi timp şi polaritatea căderii de tensiune de pe rezistorul R₃.

Observăm faptul că, prin bateria B₂ curentul circulă în sens invers datorită tensiunii mai ridicate a bateriei B₁. În ciuda faptului că polaritatea bateriei încercă să împingă electronii prin acea ramură de circuit, electronii sunt de fapt forţaţi să se deplaseze în sens contrar datorită tensiunii superioare a bateriei B₁. Înseamnă acest lucru că întotdeauna bateria mai puternică va „câştiga” iar curentul prin bateria mai slabă va fi forţat în sens contrar? Nu neapărat. Acest lucru depinde de fapt atât de diferenţa de tensiune dintre cele două baterii cât şi de valoarea rezistorilor din circuit. Singura metodă sigură de aflare a comportamentului circuitului este analiza matematică a acestuia.

Aflarea căderilor de tensiune pe toate componentele

Cunoscând acum valoarea tuturor curenţilor din circuit, putem calcula căderile de tensiune la bornele tuturor rezistorilor folosind legea lui Ohm (E = IR):