Acasă » Curent continuu » 16 - Constantele de timp RC şi L/R
[block:adsense_managed=1]
Există o metodă sigură de calcul a tuturor variabilelor dintr-un circuit reactiv (cu bobine şi/sau condensatoare) de curent continuu. Primul pas este identificarea valorilor iniţiale şi a celor finale pentru tensiune în cazul condensatoarelor şi pentru curent în cazul bobinelor.
Valorile iniţiale
La închiderea întrerupătorului (sau deschiderea) dintr-un circuit, componentul reactiv încearcă să menţină această cantitate (tensiune pentru condensator, curent pentru bobină) la valoarea existentă înainte de acţionarea întrerupătorului (vezi răspunsul tranzistoriu al condensatorului şi răspunsul tranzitoriu al bobinei); această valoarea este prin urmare folosită ca valoare „iniţială”.
Valorile finale
Valoarea finală a acestor mărimi este cantitatea la care acestea ajung după o durată de timp infinită de la acţionarea întrerupătorului. Aceasta poate fi determinată în analiza circuitului capacitiv considerând condensatorul un circuit deschis, iar în cazul analizei circuitului inductiv, considerând bobina un scurt-circuit, deoarece acesta este comportamentul lor după ce sunt încărcate la maxim (după o perioadă de timp infinită).
Constanta de timp
Următorul pas este calcularea constantei de timp a circuitului: timpul necesar pentru ca valorile tensiunii şi ale curentului să varieze cu aproximativ 63% din valoarea finală, într-o situaţie tranzitorie. Constanta de timp se exprimă în secunde şi este simbolizată prin litera grecească „tau”, τ.
Circuit RC serie
Într-un circuit RC serie, constanta de timp este egală cu produsul dintre rezistenţa totală în ohmi şi capacitatea în Farad:
Circuit L/R serie
Pentru un circuit serie L/R, constanta de timp este egală cu raportul dintre inductanţa totală în Henry şi rezistenţa totală în ohmi.
Explicaţie
Creşterea şi descreşterea valorilor circuitului reactiv tranzitoriu, este asimptotică, curbele graficului sunt prin urmare exponenţiale.
După cum am spus mai sus, constanta de timp este durata de timp necesară pentru ca oricare dintre aceste valori să varieze cu 63% faţă de valoarea lor iniţială spre cea finală. Cu fiecare constantă de timp, aceste valori se situează cu 63% mai aproape de valoarea lor finală. Formula matematică pentru determinarea precisă a procentelor variaţiei este următoarea:
Litera e este constanta lui Euler, aproximativ 2,7182818. La formula de mai sus s-a ajuns cu ajutorul analizei matematice, după analiza asimptotică a valorilor circuitului. După un timp egal cu o constantă de timp, procentul variaţiei faţă de valoarea iniţială este de:
După o perioadă de două constante de timp, procentul variaţiei faţă de valoarea iniţială este:
După zece constante de timp:
Cu cât perioada de timp de la aplicarea tensiunii bateriei la bornele bobinei/condensatorului este mai lungă, cu atât este mai mare valoarea numitorului fracţiei, întreaga fracţie fiind astfel mai mică, iar totalul scăzut din valoarea 1 se apropie eventual spre 1, sau, 100%.
Formula universală a constantei de timp
Putem deduce o formulă universală pentru determinarea valorilor curentului şi ale tensiunii în circuitele tranzitorii, astfel:
unde,
final = valoarea variabilei după un timp infinit (valoarea finală)
iniţial = valoarea iniţială a variabilei considerate
e = constanta lui Euler (2,7182)
t= timpul (s)
τ = constanta de timp a circuitului (τ)
Analiza circuitului RC serie
Să analizăm circuitul RC serie de la începutul capitolului:
Constanta de timp
Din moment ce constanta de timp (τ) a unui circuit RC serie este produsul dintre rezistenţă şi capacitate, valoarea obţinută este de 1 secundă:
Calcularea tensiunii
Analizăm în acest caz tensiunea deoarece este valoarea pe care condensatoarele încearcă să o menţină constantă. Cu toate că formula se poate aplica la fel de bine şi pentru curent, valorile finale şi cele iniţiale pentru curent sunt de fapt derivate din tensiunea condensatorului, prin urmare, calcularea tensiunii este o metodă mai directă. Rezistenţa este de 10 kΩ iar capacitatea de 100 µF (microfarad).
Dacă iniţial condensatorul este complet descărcat (0 V), putem folosi această valoare pentru tensiunea iniţială. Valoarea finală va fi tensiunea bateriei, 15 V. Formula universală pentru tensiunea condensatorului în acest circuit arată astfel:
După 7,25 de secunde de la aplicarea tensiunii la bornele condensatorului (prin închiderea întrerupătorului), tensiunea va creşte astfel:
Deoarece tensiunea iniţială la bornele condensatorului a fost de 0 V, o creştere cu 14,989 V se traduce printr-o cădere de tensiune de 14,989 V la bornele condensatorului după 7,25 s de la închiderea circuitului.
Calcularea curentului
Aceeaşi formulă poate fi folosită şi pentru determinarea curentului din circuit. Ştim că un condensator descărcat se comportă precum un scurt-circuit, prin urmare, curentul iniţial va fi maximul posibil în circuit:
Ştim de asemenea că valoarea finală a curentului va fi zero, din moment ce condensatorul se va comporta eventual precum un circuit deschis, prin urmare, nu va exista curgere a electronilor prin circuit. Cunoscând valorile iniţiale şi cele finale, putem folosi formula universală pentru determinarea valorii curentului după 7,25 de secunde de la închiderea aceluiaşi circuit RC de mai sus:
Observăm că valoarea obţinută este negativă, nu pozitivă! Acest lucru înseamnă o descreştere a curentului şi nu creştere a acestuia în timp. Din moment ce am început cu un curent de 1,5 mA, această descreştere de 1,4989 mA se traduce prin existenţa unui curent de 0,001065 mA (1,065 µA) după un interval de timp de 7,25 de secunde de la închiderea circuitului.
Am fi putut determina curentul prin circuit după 7,25 s, scăzând tensiunea condensatorului din tensiunea bateriei pentru obţinerea tensiunii pe rezistor; aflam apoi curentul prin rezistor (şi prin întreg circuitul) folosind legea lui Ohm (I =E / R). În ambele cazuri, ar trebui să obţinem acelaşi rezultat:
Analiza circuitului L/R serie
Să analizăm acum circuitul L/R serie de la începutul capitolului:
Constanta de timp
Cu o inductanţă de 1 Henry şi o rezistenţă serie de 1 ohm, constanta de timp a circuitului de faţă este de 1 secundă:
Calcularea curentului
Deoarece este un circuit inductiv, iar bobinele ştim că se opun variaţiei curentului, vom aplica formula universală folosind valorile iniţiale şi finale ale curentului. Dacă iniţial întrerupătorul este deschis, curentul este egal cu zero (valoarea iniţială). După o perioadă de timp infinită, curentul va atinge valoarea sa finală, egală cu raportul dintre tensiunea sursei şi rezistenţa totală din circuit (I =E / R), 15 A în acest caz.
Dacă vrem să aflăm valoarea curentului la 3,5 secunde după închiderea întrerupătorului, aplicăm formula universală astfel:
Din moment ce valoarea iniţială a curentului a fost zero, valoare acestuia după 3,5 secunde este de 14,547 amperi.
Calcularea tensiunii
Având doar un singur rezistor în circuit, calculăm mai întâi căderea de tensiune pe acesta pentru timpul de 3,5 s:
Făcând diferenţa între tensiunea bateriei şi cea a rezistorului, căderea de tensiune pe bobină este de 0,453 V pentru timpul de 3,5 s:
