Acasă » Electronică digitala » 07 - Algebra booleană
- Adunarea booleană este echivalentă unei porţi logice SAU, precum şi contactelor conectate în paralel
- Înmulţirea booleană este echivalentă unei porţi logice ŞI, precum şi contactelor conectate în serie
- Complementarea booleană este echivalentă unei porţi logice NU, precum şi contactelor normal-închise
Numere binare şi numere booleene
Trebuie înţeles încă de la început faptul că numerele booleene nu sunt tot una cu numerele binare. Numerele booleene reprezintă un sistem matematic total diferit de cel al numerelor reale, pe când notaţia binară este doar atât: o notaţie alternativă a numerelor reale. Cele două sunt adesea confundate datorită faptului că utilizează aceleaşi cifre: 0 şi 1. Diferenţa constă în faptul că valorile booleene sunt limitate la un singur bit (fie 0, fie 1), pe când numerele binare pot fi compuse din mai mulţi biţi.
Adunarea booleană
Să începem aşadar capitolul de algebră booleană prin adunarea numerelor:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Primele trei sume nu sunt deloc ieşite din comun din punct de vedere al operaţiei de adunare elementară. Ultima sumă în schimb, s-a dovedit a fi responsabilă de mai multă confuzie decât oricare alt element al electronicii digitale. Forma sa nu se supune principiilor de bază ale matematicii. Într-adevăr, aceasta contrazice principiile adunării numerelor reale, dar nu şi a numerelor booleene. În cadrul matematicii booleene există doar două valori posibile pentru oricare valoare şi pentru orice operaţie matematică: 0 sau 1. Nu există valoarea „2”. Din moment ce suma „1 + 1” nu poate fi 0, prin eliminare, această sumă trebuie să fie 1.
De asemenea, nu contează nici câţi termeni conţine suma. Să considerăm următoarele sume, de exemplu:
0 + 1 + 1 = 1
1 + 1 + 1 = 1
0 + 1 + 1 + 1 = 1
1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1
1 + 1 + 1 = 1
0 + 1 + 1 + 1 = 1
1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1
Revenind la primul set de ecuaţii, putem observa că aceste sume nu sunt altceva decât tabelul de adevăr al unei porţi logice SAU. Cu alte cuvinte, adunarea booleană corespunde funcţiei logice a porţii SAU, precum şi comutatoarelor conectate în paralel:
Scăderea şi împărţirea booleană
În cadrul matematicii booleene nu există noţiunea de scădere. Scăderea implică existenţa numerelor negative: 5 - 3 este identic cu 5 + (-3), de exemplu. Dar în algebra booleană, nu există valori negative (doar 0 şi 1).
De asemenea, nu există nici operaţia de împărţire booleană. Împărţirea nu este altceva decât o scădere compusă, la fel cum înmulţirea nu este altceva decât adunare compusă.
Înmulţirea booleană
Înmulţirea booleană este permisă, iar regulile sunt aceleaşi cu înmulţirea numerelor reale: orice număr înmulţit cu 0 este 0, şi orice număr înmulţit cu 1 rămâne neschimbat:
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Setul de ecuaţii ar trebui să vă fie cunoscut: sunt aceleaşi reguli ce se regăsesc în tabelul de adevăr al porţii ŞI. Cu alte cuvinte, înmulţirea booleană corespunde funcţiei logice a porţii ŞI, precum şi comutatoarelor conectate în serie:
Variabile booleene şi complementul lor
La fel ca şi algebra „normală”, algebra booleană utilizează litere pentru desemnarea variabilelor. Dar, faţa de algebra „normală”, aceste variabile se trec tot timpul cu majuscule. Datorită faptului că există doar două stări posibile, fie 1, fie 0, fiecare variabilă posedă şi un complement: valoarea opusă a acesteia. De exemplu, dacă variabila „A” este 0, atunci complementul ei este 1. Complementul se specifică prin intermediul unei linii orizontale deasupra variabilei, astfel:
Sub formă scrisă, complementul lui „A” este desemnat prin „A-negat”. Câteodată se utilizează simbolul „'” pentru reprezentarea complementului (A'). De obicei însă, simbolul cu linie este mai folosit decât simbolul „'”. Motivele le vom afla puţin mai încolo.
Complementarea booleană este echivalentă cu o poartă logică NU, sau cu un contact normal-închis:
