Acasă » Electronică digitala » 07 - Algebra booleană
- Există trei reguli de bază ale simplificării booleene; acestea sunt folosite pentru reducerea expresiei iniţiale la o formă mai simplă dar identică din punct de vedere funcţional
Scopul simplificării booleene
Una dintre cele mai practice aplicaţii ale algebrei booleene constă în simplificarea circuitelor logice. Dacă transcriem funcţia logică a unui circuit sub formă booleană, şi aplicăm anumite reguli ecuaţiei rezultate, putem reduce numărul termenilor sau operaţiilor aritmetice necesare realizării funcţiei iniţiale. Ecuaţia simplificată poată fi apoi transformată înapoi sub formă de circuit logic. Sub noua formă, circuitul logic realizează aceiaşi funcţie, dar cu mai puţine componente. Dacă un circuit echivalent poate fi realizat cu mai puţine componente, costurile de realizare şi de funcţionare vor scădea.
Identităţile şi proprietăţile exprimate în secţiunile precedente sunt foarte utile simplificării booleene. Toate regulile prezentate în această secţiune sunt specifice matematicii booleene.
Prima regulă a simplificării booleene
Această regulă poate fi demonstrată simbolic prin scoaterea termenului comun (A) în afara sumei. Aplicând apoi regulile A + 1 = 1 şi 1A = A, ajungem la rezultatul final:
A + AB = A(1 + B) = A(1) = A
Observaţi cum a fost aplicată regula A + 1 = 1 pentru reducerea termenului (B + 1) la 1. Când aplicăm o regulă precum „A + 1 = 1”, exprimată prin intermediul literei „A”, nu înseamnă că regula se aplică doar expresiilor ce conţin „A”. A-ul din această expresie exprimă faptul că aceasta se aplică oricărei variabile sau grupuri de variabile booleene.
De exemplu, expresia booleană ABC + 1 se reduce tot la 1 prin intermediul aplicării identităţii A + 1 = 1. În acest caz, termenul standard „A” din definiţia identităţii reprezintă întregul termen „ABC” al expresiei de mai sus.
A doua regulă a simplificării booleene
Următoarea regulă este aproximativ similară cu prima. Practic însă, ea este destul de diferită, iar demonstraţia este puţin mai dificilă:
Pentru început, dezvoltăm termenul A, folosind regula precedentă (A + AB = A). Scoatem termenul B în afara celei de-a doua sume, şi aplicăm apoi identitatea A + A' = 1. La sfârşit, nu ne mai rămâne decât să aplicăm identitatea 1A = A pentru obţinerea rezultatului final:
A + A'B = A + AB + A'B = A + B(A + A') = A + B(1) = A + B
A treia regulă a simplificării booleene
O altă regulă implică simplificarea expresiei unui produs de sume:
Pentru a demonstra această relaţie, realizăm pentru început înmulţirea celor două sume. Aplicăm apoi identitatea AA = A, apoi regula A + AB = A primilor doi termeni. Şi, în sfârşit, aplicăm aceiaşi regulă, A + AB = A primilor doi termeni ai expresiei rezultate. Rezultatul este conform expresiei de mai sus:
(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A + AB + BC = A + BC
Pe scurt, acestea sunt cele trei reguli ale simplificării booleene:
